au département de mathématiques et applications
de l'École normale supérieure de Paris
Présentation du séminaire
À l’heure où une partie des travaux inédits de Grothendieck sont rendus publics, il est temps de prolonger les analyses existantes et de tirer toutes les conséquences d’une pensée qui a eu un impact décisif sur une partie de la recherche mathématique depuis plus d’un demi-siècle.
Il s’agit donc de faire un effort collectif pour étudier l’œuvre de Grothendieck, ses articulations à d’autres travaux, ses dynamiques internes, ce que l’on peut en tirer pour l’histoire et la philosophie des mathématiques et les mathématiques elles-mêmes. Nous n'oublierons pas non plus les aspects qui semblent hors des mathématiques, et que nous devrons examiner aussi.
Il y a parfois une opposition entre les mathématiciens qui pensent 'comprendre' les idées mathématiques de Grothendieck, et d’autres, souvent historiens ou philosophes, qui ne raconteraient que quelques idées folkloriques sur un sujet qu’ils ne maîtrisent pas. Réciproquement il arrive que certains cèdent à la tentation de remplacer l’exigeant cheminement vers l’assimilation d’énoncés difficiles par un discours déconnecté de leur substance mathématique. Ils contribuent ainsi à accentuer une déchirure entre diverses activités qui relèvent pourtant toutes de façon vitale des mathématiques.
C’est sur ce front quelque peu houleux que ce séminaire entend se poster, là où les forces sont inégales, où l’horizon est obscurci par le spectre du génie et les présentations absconses qui entravent toute progression sérieuse de la pensée.
Il nous semble que c’est au contact intime des textes de Grothendieck que l’on a une chance de pouvoir concevoir quelques idées nouvelles pour la philosophie et d’élaborer avec elles une vision éclairée pour les mathématiques à venir.
L’histoire a montré, par l’étude fine de textes qui semblaient de prime abord ne relever que de la production de nouveaux théorèmes ou se présentaient comme des états de l’art, que c’est souvent dans une analyse historique renouvelée et en forgeant des idées philosophiques au cœur même des mathématiques que l’on a pu concevoir les changements de paradigmes qui marquent les évolutions fondamentales des mathématiques.
Le séminaire « Lectures grothendieckiennes » s’efforcera de présenter une pensée à l’œuvre au contact des textes de Grothendieck, du contexte dans lequel ils ont été inspirés et des conséquences mathématiques ou philosophiques que l’on peut en tirer. Il se veut avant tout un lieu ouvert à la réflexion et à la discussion, autour d’exposés que les propositions de nos orateurs laissent espérer sérieusement engagés.
Exposés et résumés
Les données seront complétées régulièrement
"Il a tué l'analyse fonctionnelle" (Dieudonné,1950)
Pierre Cartier
Le but sera de présenter l'état de l'Analyse Fonctionnelle au moment où Grothendieck entre en scène, vers 1948, et les personnages incontournables : Gelfand, Mackey, Dieudonné, Schwartz, Choquet, etc.
Un topo sur les topos
Alain Connes
J'y présenterai la démarche intellectuelle qui a mené Alexandre Grothendieck, à partir d'une "emmerdante" rédaction qu'il devait faire pour Bourbaki sur l'algèbre homologique, à découvrir et mettre au point la notion de topos et j'essaierai d'expliquer en quel sens cette notion a une portée considérable grâce en particulier aux nuances qu'elle introduit entre le vrai et le faux.
Prolégomènes à une étude philosophique de l'œuvre d'Alexandre Grothendieck
Jean-Jacques Szczeciniarz
L'exposé évoquera entre autres : 1) La naissance de la théorie des schémas 2) Une généralisation importante : les espaces annelés 3) La théorie des schémas sa grande nouveauté, de la géométrie algébrique classique à la géométrie algébrique de Grothendieck 4) Schéma de Hilbert
La notion de vérité selon Grothendieck
Laurent Lafforgue
Cet exposé se concentre sur un manuscrit de Grothendieck : La Clef des Songes - ou Dialogue avec le Bon Dieu. Il date de la fin des années 1980 et a été rédigé après Récoltes et Semailles.
C'est un témoin de la pensée dynamique de Grothendieck. Ce manuscrit, qui ne se range dans aucun genre littéraire classique puisque c'est un manuscrit de recherche, est d'une richesse exceptionnelle. Il apparaît comme l'œuvre d'un grand écrivain et d'un grand penseur, même en oubliant que Grothendieck est un géant des mathématiques.
L’exposé se concentre sur la notion de vérité telle qu’on la trouve évoquée tout au long du texte de Grothendieck.
Les travaux de Grothendieck sur les espaces de Banach et leurs surprenantes répercussions actuelles
Gilles Pisier
La thèse de Grothendieck et son article ultérieur intitulé "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques" (1956) a eu un énorme impact sur le développement de la géométrie des espaces de Banach pendant les 60 dernières années. Nous passerons en revue ce "Résumé" en nous concentrant sur le résultat que Grothendieck lui-même a appelé le théorème fondamental de la théorie métrique des produits tensoriels, maintenant devenu "l'inégalité de Grothendieck" ou "le théorème de Grothendieck". Ce résultat a récemment fait une apparition pour le moins inattendue dans plusieurs domaines a priori fort éloignés des préoccupations de Grothendieck. L'une a trait aux \(C^∗\)-algèbres et aux espaces d'opérateurs (ou "espaces de Banach non-commutatifs"), une autre aux inégalités de Bell et à leur "violation" en mécanique quantique, une dernière relie la constante de Grothendieck au problème P=NP et à la théorie des graphes.
La "notion unificatrice" de topos
Olivia Caramello
«C’est le thème du topos qui est ce “lit”, ou cette “rivière profonde” où viennent s’épouser la géométrie et l’algèbre, la topologie et l’arithmétique, la logique mathématique et la théorie des catégories, le monde du continu et celui des structures “discontinues” ou “discrètes”. Il est ce que j’ai conçu de plus vaste, pour saisir avec finesse, par un même langage riche en résonances géométriques, une “essence” commune à des situations des plus éloignées les unes des autres provenant de telle région ou de telle autre du vaste univers des choses mathématiques”.»
A. Grothendieck
La variable complexe dans la première décennie de l'oeuvre grothendickienne : collection d'exemples, réseau d'idées, source de visions
Fernando Zalamea
Un thème fondamental de toute l'œuvre de Grothendieck est le désir de rechercher des notions souples et naturelles dans la pensée mathématique. En particulier, la variable complexe, comme paradigme de souplesse technique, a été toujours présente dans son œuvre, dès ses premiers articles et l'apparition des espaces nucléaires (exemple, espaces de fonctions holomorphes), jusqu'aux travaux finaux sur la tour de Grothendieck-Teichmüller et les dessins d'enfants, en passant par les hauts points du Riemann-Roch-Grothendieck et la vision des schémas étales, où Galois et Riemann convergent en profondeur. Nous nous concentrerons (1) sur les divers exemples autour de la variable complexe étudiés par Grothendieck dans sa première décennie (1949-1958), (2) le réseau d'idées sous-jacent, (3) les visions que Grothendieck en tire, en particulier dans la conférence d'Edinburgh (1958), point tournant de son programme mathématique.
Grothendieck's 1973 topos lectures
Colin McLarty
In the summer of 1973 Grothendieck lectured on several subjects in Buffalo NY, and these lectures were recorded, including 33 hours on topos theory. The topos lectures were by far the most informal of the series, with the most significant audience discussion, and Grothendieck says they are the only ones for which he developed new ideas. While they do not contradict any of his published accounts (including Récoltes et semailles) they provide important new insights. For one, they reveal more of how he connected his idea of topos to his Tohoku paper on homological algebra; and also to Serre's isotrivial covers. The beginning lectures show Grothendieck's choice of what to emphasize in the subject. As he warms up in the following lectures he goes beyond SGA by offering a more directly, or naively, geometrical conception of a topos as a generalized topological space than occurs in SGA. Much of the series is spent on extending the ideas of algebraic structure, and classifying topos, in the 2-categorical setting. The lectures illustrate several aspects of what Grothendieck called "building houses", and why, despite the resistance he met, he said "we advise the reader nonetheless to assimilate the language of topos" (printed in SGA VII). At the end of the last topos lecture (July 13, 1973) he discusses the news that Deligne had completed the proof of the Weil Conjectures. This is before he learned how Deligne did it. Here he discusses the role of universes, and what could be desirable alternatives to them.
L'inspiration toposique de la théorie de l'homotopie de Grothendieck ou comment se débarrasser des ensembles simpliciaux
Georges Maltsiniotis
Dans "Pursuing Stacks", Grothendieck a émis la conjecture, connue aujourd'hui comme l'hypothèse de l'homotopie, affirmant que les ∞-groupoïdes faibles sont des modèles pour les types d'homotopie. Dans une démarche purement Grothendieckienne, il cherche à étudier toutes les catégories qui modélisent canoniquement les types d'homotopie. Sa catégorie de modèles préférée est celle des petites catégories, une petite catégorie représentant le type d'homotopie de son topos des préfaisceaux. Il effectue les constructions usuelles de la théorie de l'homotopie, comme par exemple celle de l'espace des lacets, à l'intérieur de cette catégorie. En s'inspirant des propriétés cohomologiques des morphismes propres ou lisses de schémas, il introduit les notions de foncteur propre ou lisse. Son aversion envers les ensembles simpliciaux le conduit à dégager la notion de catégorie test et plus généralement de topos modélisateur dont les objets sont des modèles des types d'homotopie.
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au 45 rue d'Ulm, puis l'entrée principale et l'escalier B.
Monter au 3ième étage, puis continuer d'avancer jusqu'à un
escalier qui permet de rejoindre les "toits du DMA".
Le plan ci-dessous précise le chemin.
Bibliographie
On trouvera ici quelques références en lien avec les exposés du séminaire que nous compléterons au cours de l'année et au fil des discussions. La liste n'a rien d'exhaustif mais cherche plutôt à faire apparaître quelques points de repères.
On peut consulter une bibliographie de Grothendieck élaborée par Leila Schneps en suivant ce lien.
Le Grothendieck
Circle maintient un site dédié à la vie et à l’œuvre
de Grothendieck.
L’université de Montpellier, le CNRS et le laboratoire IMAG mettent en ligne une partie des archives mathématiques de Grothendieck.
Éléments de littérature
grothendieckienne
Travaux récents :
- Zalamea, F. Grothendieck. Una guía a la obra matemática, Bogotá, Colombia, 2019. [livre en ligne]
- Zalamea, F. Philosophie synthétique des mathématiques contemporaines, Hermann, mai 2018.
- Caramello, O. Theories, Sites, Toposes: Relating and studying mathematical theories through topos-theoretic 'bridges', OUP Oxford, p.384, dec. 2017.
- Caramello, O. Topological Galois theory. Adv. Math. 291 (2016), 646–695.
- Cartier, P. G for Grothendieck. Lett. Mat. 5 (2017), no. 2, 113–118.
- Hoshi, Y. On the Grothendieck conjecture for affine hyperbolic curves over Kummer-faithful fields. Kyushu J. Math. 71, No. 1, 1-29 (2017).
- Narváez-Macarro, L. In memory of Alexander Grothendieck: preface to a lecture on his life and work. Gac. R. Soc. Mat. Esp. 20 (2017), no. 2, 297–324.
- Navarro, A. On Grothendieck’s Riemann-Roch theorem. Expo. Math. 35, No. 3, 326-342 (2017).
- Zalamea, F. Grothendieck. Visiones sobre la multiplicidad de su obra. Dept. de Mathemáticas, Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá, 2017.
Extraits d'une liste établie par Fernando Zalamea
- Borel, A. et Serre, J.-P. Le théorème de Riemann-Roch (d'après des résultats inédits de A. Grothendieck) Bull. Soc. Math. France 86 (1958), p.97-136.
- Bringuier, G. Alexandre Grothendieck. Itinéraire d'un mathématicien hors norme. Toulouse: Privat, 2015.
- De Azevedo. Grothendieck no Brasil. Matemática Universitaria 44 (2008), p.39-42.
- Diestel, J. Grothendieck and Banach space theory. in Alexandre Grothendieck. A mathematical Portrait. Ed. L. Shneps. Boston: International Press, 2014, p.1-12.
- Diestel, J., Fourie, J.H., Swart, J. The metric theory of tensor products. Grothendieck's Résumé revisited. Providence: American Mathematical Society, 2000.
- Dieudonné, J. De l'analyse fonctionnelle aux fondements de la géométrie algébrique. in The Grothendieck Festschrift. Vol.1 Basel: Birkhäuser, 1990, p.1-14.
- Douroux, P. Alexandre Grothendieck. Sur les traces du dernier génie des mathématiques. Mayenne: Allary éditions, 2016.
- Karoubi, M. L'influence d'Alexandre Grothendieck en K-théorie. in Alexandre Grothendieck. A mathematical portrait. Ed L. Schneps. Boston: International Press, 2014, p. 13-23.
- Lawvere, F.W. Alexander grothendieck and the concept of space, 2015 (en ligne)
- Marquis, J.-P. From a geometrical point of view. A study of the history and philosophy of category theory. New Yok: Springer, 2009.
- Pradeau, Y. Algèbre – éléments de la vie d’Alexandre Grothendieck. 2nd edition. Paris: Éditions Allia, 2017.
- Scharlau, W. Who is Alexander Grothendieck? Anarchy, Mathematics, Spirituality, Solitude. A biography. Part1: Anarchy. Norderstedt: Herstellung und Verlag, 2011.
- Schneps, L. Grothendieck - Mathematics. Preprint.
Notices de l'AMS
- Alexandre Grothendieck 1928–2014, Part 1. Michael Artin, Allyn Jackson, David Mumford, and John Tate, Coordinating Editors.
- Alexandre Grothendieck 1928–2014, Part 2. Michael Artin, Allyn Jackson, David Mumford, and John Tate, Coordinating Editors.
- Alexander Grothendieck: A Country Known Only by Name. Pierre Cartier.
- Who Is Alexander Grothendieck? Winfried Scharlau.
- How Grothendieck Simplified Algebraic Geometry. Colin McLarty.
- Reminiscences of Grothendieck and His School. Luc Illusie, with Alexander Beilinson, Spencer Bloch, Vladimir Drinfeld, et al.
- A mad day's work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symetry. Pierre Cartier. Translated from the French by Roger Cooke. This paper was written on the occasion of the 40th anniversary of the IHES (in 1998): Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38 (2001), no. 4, 389–408.
- Grothendieck's theorem, past and present. Gilles Pisier. ( Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 49 (2012), no. 2, 237–323)
- Grothendieck at 80, IHES at 50. Allyn Jackson.
Liste établie par le Grothendieck Circle
- Rapport au comité Fields sur les travaux de A. Grothendieck Jean-Pierre Serre's report on Grothendieck's work for the Fields Medal in 1966
- Quelques idées maitresses de l'oeuvre de A. Grothendieck. P. Deligne’s overview of some fundamental ideas in Grothendieck’s work.
- Notes on the life and work of Alexander Grothendieck. An 18-page biographical article by Piotr Pragacz, originally published in Polish in Wiadomo´sci Matematyczne 40 (2004).
- The rising sea: Grothendieck on simplicity and generality. A lecture by Colin McLarty.
- The rising tide: Grothendieck on simplicity and generality. A streaming video of a talk at MSRI by Colin McLarty on Grothendieck’s approach to mathematics.
- A Mad Day's Work: From Grothendieck to Connes and Kontsevitch. The evolution of concepts of space and symmetry. An article by P. Cartier on the evolution of the concept of space with emphasis on Grothendieck’s contributions.
- A short review of the Grothendieck-Serre Correspondence by John Tate, published in NAW in 2004.
- Grothendieck et les motifs (P. Cartier) and Découvrir et transmettre (A. Herreman) (Notes sur l'histoire et la philosophie des mathématiques IV), The first entry in this collection of two independent texts on Grothendieck gives a general and very personal and readable overview of his contribution and approach to mathematics from the beginning. The second is not mathematical, but concerns Grothendieck's relation to the acts of reading, writing, and creation. It is also linked directly in the section on biographical texts.
- Alexander Grothendieck (in Italian) et Alexander Grothendieck: Enthusiasm and Creativity (in English) An overview of Grothendieck's mathematical contribution, by Luca Barbieri Viale. The English article appeared in the book Mathematical lives, Springer-Verlag, 2011.
- Alexandre Grothendieck, magicien des foncteurs - an article by Luc Illusie.
Autres documents
Responsable du séminaire
Frédéric Jaëck
Bureau C8, espace Cartan,
Département de mathématiques et
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École normale supérieure
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fjaeck@dma.ens.fr
Tel : 07 68 06 98 35
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